جواب کاردرکلاس صفحه 14 ریاضی و آمار دهم

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس صفحه 14 ریاضی دهم انسانی سلام دانش‌آموزان باهوش! این یک مسئله‌ی متداول از زندگی روزمره است که ما را به قلمرو **معادلات درجه دوم** می‌برد. در مسائل مربوط به سن، باید همیشه به منطقی بودن جواب‌های نهایی توجه کنیم. ### گام اول: تعریف متغیرها و تشکیل معادله فرض می‌کنیم: * **سن نیما (بزرگ‌تر):** $\mathbf{x}$ چون نیما سه سال از کیان بزرگ‌تر است، پس کیان سه سال از نیما کوچک‌تر است: * **سن کیان (کوچک‌تر):** $\mathbf{x - 3}$ حاصل ضرب سن این دو برابر $\mathbf{40}$ است: 1. **سن کیان برابر است با:** $\mathbf{x - 3}$ 2. **معادله ضرب:** $$\mathbf{x \times (x - 3) = 40}$$ ### گام دوم: ساده‌سازی، حل معادله و حدس زدن **1. درجه معادله:** معادله را باز می‌کنیم تا درجه‌ی آن مشخص شود: $$x(x - 3) = 40$$ $$\mathbf{x^2 - 3x = 40}$$ این معادله، یک **معادله درجه دوم** است، زیرا بالاترین توان متغیر $\mathbf{x}$ برابر $\mathbf{2}$ است. **2. حدس زدن جواب‌ها:** ما به دنبال دو عدد هستیم که: * اختلافشان $\mathbf{3}$ باشد. * حاصل ضربشان $\mathbf{40}$ باشد. به راحتی می‌توانیم حدس بزنیم که $\mathbf{8 \times 5 = 40}$ و $\mathbf{8 - 5 = 3}$. پس یکی از سن‌ها $\mathbf{8}$ و دیگری $\mathbf{5}$ است. * اگر $\mathbf{x = 8}$ باشد، $8(8-3) = 8 \times 5 = 40$. (**جواب درست**) **3. حل معادله به روش جبری (استاندارد):** معادله را به فرم استاندارد $\mathbf{ax^2 + bx + c = 0}$ می‌بریم: $$\mathbf{x^2 - 3x - 40 = 0}$$ برای حل این معادله، از روش **تجزیه** استفاده می‌کنیم (یا روش‌های دیگری مانند دلتا که بعداً یاد می‌گیرید). ما به دنبال دو عدد هستیم که ضربشان $\mathbf{-40}$ و جمعشان $\mathbf{-3}$ باشد. این دو عدد $\mathbf{-8}$ و $\mathbf{+5}$ هستند. $$\mathbf{(x - 8)(x + 5) = 0}$$ از قاعده‌ی ضرب صفر، دو جواب به دست می‌آید: * **جواب اول:** $\mathbf{x - 8 = 0 \Rightarrow x = 8}$ * **جواب دوم:** $\mathbf{x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5}$ ### گام سوم: تحلیل جواب‌ها **این معادله چند جواب دارد؟** معادله درجه دوم ما **دو جواب** دارد: $\mathbf{x = 8}$ و $\mathbf{x = -5}$. **آیا عدد منفی هم در معادله صدق می‌کند؟** بله، اگر $\mathbf{x = -5}$ را در معادله اصلی $\mathbf{x^2 - 3x - 40 = 0}$ قرار دهیم: $$\mathbf{(-5)^2 - 3(-5) - 40 = 25 + 15 - 40 = 40 - 40 = 0}$$ پس عدد منفی **از لحاظ ریاضی** یک جواب درست برای معادله است. **این جواب در این سؤال چه معنی دارد؟** * $\mathbf{x}$ در این سؤال نشان‌دهنده‌ی **سن** است. سن افراد **نمی‌تواند عددی منفی** باشد. * بنابراین، جواب $\mathbf{x = -5}$ با توجه به **محدودیت‌های مسئله** (که سن باید عددی مثبت باشد)، قابل قبول نیست و رد می‌شود. **پاسخ نهایی به سؤال اصلی:** تنها جواب منطقی $\mathbf{x = 8}$ است. این سن نیما (بزرگ‌تر) است. **سن پسرعموی کوچک‌تر (کیان) برابر است با:** $$\mathbf{x - 3 = 8 - 3 = 5}$$ پسرعموی کوچک‌تر **5 سال** دارد.